Voici les formules pour construire un cadran solaire sur un mur vertical, ou horizontalement sur le sol.
D'abord il faut savoir qu'un cadran solaire n'est valable que pour un lieu donné. Aussi les beaux cadrans solaires qu'on vend aux touristes sur la côte méditerranéenne sont souvent des... attrape-touristes.
En effet, il faut tenir compte des coordonnées géographiques du lieu, c'est-à-dire la longitude λ et la latitude φ, et souvent aussi l'angle du mur s'il n'est pas tout-à-fait orienté au sud (cet angle s'appelle déclinaison du mur).
Il faut aussi bien sûr tenir compte du décalage de l'heure d'hiver ou d'été (+1 ou +2 en France). Par compte, on néglige (résolument) ce qui s'appelle l'équation du temps, qui est une correction à apporter à l'heure solaire en fonction de la date dans l'année, et qui peut atteindre ±16 minutes.
Nous, ce qu'on veut, c'est un cadran fixe, plan, vertical ou horizontal, qui soit valable toute l'année, facile à lire, et qui nous donne l'heure grosso-modo (on n'est pas à la minute près).
Notre cadran solaire sera constitué d'un plan et d'une tige, appelée style (ou gnomon). Le style ne sera pas perpendiculaire au cadran, mais fera un certain angle avec lui. En effet, pour que l'angle de l'ombre soit indépendant de la saison, on doit orienter ce style vers le pôle nord (ou sud), c'est-à-dire qu'il doit être parallèle à l'axe de rotation de la terre. Il doit donc faire avec le cadran un angle équivalent à la latitude du lieu (s'il s'agit d'un cadran horizontal), ou la colatitude (c'est-à-dire 90°-φ, s'il s'agit d'un cadran vertical).
C'est pourquoi on appelle ce type de cadran (le plus courant...) un cadran à style polaire.
En pratique, si on a du mal à orienter cette tige correctement, on prendra un triangle rectangle découpé dans du contreplaqué, dont un angle vaudra la latitude. L'ombre sera donnée par l'hypothénuse du triangle.
| Cadran horizontal | Cadran vertical |
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On note par λ la longitude, comptée positivement vers l'est, par rapport au méridien de Greenwich, et par φ la latitude (positive dans l'hémisphère nord). On note aussi par d la déclinaison éventuelle du mur (on compte d positivement du sud vers l'est; par exemple, si votre mur regarde un peu vers le sud-ouest, d sera négatif).
On appelle midi vrai l'instant où le soleil passe pile au zénith à l'endroit où vous êtes (en France, c'est lorsqu'il passe pile au sud). Lorsqu'on habite à l'est du méridien de Greenwich, midi vrai a lieu plus tôt qu'à midi (en fait, 14h00 en été) de la pendule, puisque le soleil arrive de l'Est. A Paris ou Font-Romeu, le soleil passe 8 mn plus tôt, c'est à 12h52 en hiver, 13h52 en été (avec ces décalages horaires, on va en effet chercher midi à 14h00 
).
Les formules qui suivent sont obtenues par changements de repère 3-D successifs, donc de façon mathématique et sûre (rotations). Le point O est à l'intersection du style et du cadran.
Vous devez donc connaître les coordonnées géographiques de votre lieu l et f (d'après une carte IGN ou GPS), la direction du sud (carte, ou d'après l'ombre du soleil lorsqu'il est midi vrai), la direction exacte de la perpendiculaire de votre mur (donc l'angle d avec le sud), au degré près. Sachez qu'une heure représente 15°, donc 1° d'incertitude représente 4 minutes, et l'équation du temps qu'on néglige représente donc 4° au maximum (tout petit!).
Le soleil parcourt 15° chaque heure dans le plan équatorial (O,X,Y). Le style est orienté selon (O,Z), le soleil tourne autour. On cherche l'ombre de ce style sur le plan vertical (O,x,z) (pour un cadran vertical) ou sur le sol (O,x,y) (pour un cadran horizontal) -attention à ne pas confondre "X" et "x".
Angle horaire θ du soleil autour de (O,Z), en fonction de l'heure T:θ = 12* - λ - T
Si r est la longueur du style, l'ombre de l'extrémité du style, à l'opposé du soleil, aura pour coordonnées dans le repère terrestre:
X = -r cos θ Y = -r sin θ Z = variable selon saison (0 aux équinoxes)Changements de repères:
x1 = Y y1 = -X sin φ + Z cos φ z1 = X cos φ + Z sin φet:
x = x1 cos d + y1 sin d y = -x1 sin d + y1 cos d z = z1
D'où x, y et z en fonction de d, φ, θ, r et Z
Pour ces cadrans solaires, on s'intéresse à l'angle de l'ombre du style (indépendante de la saison, car le style est selon l'axe des pôles), c'est-à-dire à tg u = (-x)/(-z) pour un cadran vertical, et tg v = x/y pour un cadran horizontal (on utilisera plutôt atan2 au cas où l'angle fait plus de 90°).
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tg u = cos φ tg θ / (cos d + sin φ sin d tg θ)
Cadran horizontal: on fait z=0, d'où:tg v = (-sin φ tg θ + tg d) / (1 + sin φ tg d tg θ)
Remarques:
tg i = -sin φ tg θ
tg u = cos φ tg θ cos i / cos (i+d) tg v = (tg i + tg d) / (1 - tg i tg d) = tg (i+d) donc v = i + d
En fin de compte, ces formules permettent de tracer les lignes horaires sur un cadran de type vertical ou horizontal en faisant varier T entre par exemple 8 et 20 heures.
Par exemple, pour un balcon orienté au sud-sud-est situé à Font-Romeu (vraiment au hasard):
λ=2,04°, φ=42,50°, d=20,5°, heure d'été:
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Le plus dur est d'abord de déterminer vos coordonnées, puis de placer le style sur votre mur ou sur le sol en l'orientant en 3 dimensions (2 angles)... Le plus simple est de découper un triangle rectangle d'angle φ, et de le poser à midi vrai (plan triangle = plan méridien, donc hypothénuse = axe pôles).
Vous pouvez aussi faire un cadran vertical en faisant d=0 que vous orienterez pile au sud (il sera alors en avancée du mur d'un angle d). Les formules des lignes horaires sont plus simples:
cadran vertical: tg u = cos φ tg θ cadran horizontal: tg v (= tg i) = - sin φ tg θ
Mais tant qu'à faire un cadran en décrochement de votre mur, autant faire un cadran équatorial, les formules sont encore plus simples:
u = θ
Sachez aussi qu'on peut faire des cadrans sur des murs plein est ou ouest, voire même plein nord: un tel mur est éclairé 6 heures par jour en plein été en France !
Parce que la direction de l'ombre varie selon la saison. Le soleil est plus "haut" en été qu'en hiver exactement à la même heure, non pas dans le sens vertical mais vers le pôle nord, la terre ayant basculé vers le sud. On pourrait s'intéresser à l'extrémité de l'ombre, mais ça ferait un cadran difficile à lire: les lignes horaires seraient des courbes. Certains cadrans ont des styles verticaux (cadrans analemmatiques), mais le style doit être déplacé en fonction du jour de l'année (souvent une personne debout se positionne: avance ou recule).)
Le mieux est de pouvoir construire un anneau, avec une tige perpendiculaire en son centre, et d'orienter l'ensemble vers l'axe des pôles (angle: latitude, pose à midi vrai). L'ombre du soleil parcourt l'intérieur du cercle de façon régulière: 15° par heure. Un tel cadran est appelé armillaire. Mieux vaut ouvrir l'anneau sur le dessus pour pas que la face intérieure en bas soit dans l'ombre aux équinoxes.)
De même, on peut employer un disque, sur lequel on dessine les heures tous les 15° sur les 2 faces, avec la tige perpendiculaire au centre, qu'on oriente vers l'axe des pôles. Un tel cadran est appelé équatorial. L'inconvénient est que l'ombre est très diffuse aux équinoxes, le soleil étant rasant (comme ici).)
On peut aussi orienter un plan face au soleil (midi vrai aux équinoxes), parallèle à l'axe des pôles, et donc le style est une tige (ou une arête) parallèle à ce plan. Ce type de cadran, lui aussi indépendant de la latitude (il faut l'orienter tout pareil), est appelé cadran polaire.
Voici un cadran vertical faisant face au sud-est, situé à Molló, en Espagne (Catalogne, à 42°21'N, 2°24'E). On est bien, c'est l'été (23 juillet), il est 10h00 du matin. Le gnomon est une tige métallique. Les lignes horaires sont les lignes radiales numérotées en latin. On voit l'ombre du gnomon sur le VIII; il faut ajouter 2 heures car on est en horaire d'été. Même si le mur ne fait pas face au sud, l'ombre est verticale à midi (XII, en fait 13h52). Le mur est ensoleillé tout le matin jusqu'à 15h00 environ (I).
En plus des lignes horaires, on voit des lignes hyperboliques. Sur le gnomon, il y a un œilleton dont l'ombre indique la saison sur ces lignes. Les lignes du bas sont pour l'été, celles du haut l'hiver. La ligne médiane (droite) est pour les équinoxes (20/3 ou 23/9). Les lignes extrêmes sont pour les solstices (21/6 ou 21/12). Les courbes en forme de 8 sont liées à l'équation du temps. Au premier semestre (entre 21/12 et 21/6) on lit l'heure sur la partie rouge, et au second semestre (ce qui est le cas ici) sur la partie bleue (ici: 10h00 pile).
Le cadran, placé sur une maison située face au clocher de l'église, indique cette phrase en catalan: "Moi sans le soleil et toi sans la foi nous ne sommes rien".
Eric Hurtebis
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